Question

如图所示，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝1，AC＝AA₁＝，∠ABC＝60°.

(1)证明：AB⊥A₁C；

(2)求二面角A－A₁C－B的余弦值．

                          

Answer

（1）略

（2）二面角A－A1C－B的余弦值为.

【解析】【解析】
(1)证明：∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥AA1，

在△ABC中，AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，

由正弦定理得∠ACB＝30°，

∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，

∴AB⊥平面ACC1A1，

又A1C⊂平面ACC1A1，

∴AB⊥A1C.

(2)如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连结BD，

由三垂线定理知BD⊥A1C， ∴∠ADB为二面角A－A1C－B的平面角．

在Rt△AA1C中，AD＝＝＝，

在Rt△BAD中，tan∠ADB＝＝， ∴cos∠ADB＝，

即二面角A－A1C－B的余弦值为.