Question

椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,2)，离心率e＝.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线l：y＝kx－2(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M、N，且满足＝，·＝0，求直线l的方程．

Answer

（1）椭圆方程为＋＝1.

（2）直线方程为y＝±x－2.

【解析】【解析】
(1)设c＝，依题意

得即

∴a2＝3b2＝12，即椭圆方程为＋＝1.

(2)∵＝，·＝0，∴AP⊥MN，

且点P是线段MN的中点，由消去y得x2＋3(kx－2)2＝12，

即(1＋3k2)x2－12kx＝0，(*)

由k≠0，得方程(*)中Δ＝(－12k)2＝144k2>0，显然方程(*)有两个不相等的实数根．

设M(x1，y1)、N(x2，y2)，线段MN的中点P(x0，y0)，

则x1＋x2＝，∴x0＝＝.

∴y0＝kx0－2＝＝，即P.

∵k≠0，∴直线AP的斜率为

k 1＝＝. 由MN⊥AP，得·k＝－1，

∴2＋2＋6k2＝6，解得k＝±， 故直线方程为y＝±x－2.