Question

(本小题满分12分)

定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界．

已知函数；．

（1）   当a=1时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；

（3）若，函数在上的上界是，求的取值范围．

Answer

（1）函数在上不是有界函数．

（2）实数a的取值范围为

（3）当时，的取值范围是；

当时，的取值范围是

【解析】【解析】
(1) 当时， 

因为在上递减，所以，即在的值域为

故不存在常数，使成立

所以函数在上不是有界函数．  

       (2) 由题意知，在上恒成立．

，    

∴ 在上恒成立

∴ 

设，，，由得 t≥1，

设，

所以在上递减，在上递增，

在上的最大值为，在上的最小值为 

所以实数a的取值范围为

(3) ，

∵ m > 0  ，     

∴ 在上递减，∴     即 

①当，即时，，此时，

②当，即时，， 此时，  

综上所述，当时，的取值范围是；

当时，的取值范围是．