Question

（12分）已知函数在处有极值．

（Ⅰ）求实数值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）令，若曲线在处的切线与两坐标轴分别交于，两点（为坐标原点），求的面积．

Answer

（Ⅰ）．

（Ⅱ）的单调减区间为，的单调减区间为．

（Ⅲ）的面积．

【解析】【解析】
（Ⅰ）因为，

所以．………………………………………………2分

由，可得 ，．

经检验时，函数在处取得极值，

所以．………………………………………………………………4分

（Ⅱ），

．………………………………5分

而函数的定义域为，

当变化时，，的变化情况如下表：

极小值

由表可知，的单调减区间为，的单调减区间为．……8分

（Ⅲ）由于，

所以，当时，，．

所以切线斜率为，切点为，

所以切线方程为，即．…………………………………10分

令，得，令，得．

 所以的面积．…………………………………………12分