Question

（12分）已知函数，.

（Ⅰ）如果函数在上是单调增函数，求的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）的取值范围是．

（Ⅱ）的取值范围是() ．

【解析】【解析】
（Ⅰ）当时，在上是单调增函数，符合题意．……1分

当时，的对称轴方程为，由于在上是单调增函数，

所以，解得或，所以．        …3分

当时，不符合题意．

综上，的取值范围是．                   ……………………4分

（Ⅱ）把方程整理为，

即为方程.                   ……………………5分

设 ，   

原方程在区间()内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数在区间()内有且只有两个零点.                         ……………………6分

           …………………7分

令，因为，解得或（舍）   …………………8分

当时, ,  是减函数；  

当时, ，是增函数.           …………………9分

在()内有且只有两个不相等的零点, 只需

                                  …………………10分

即  ∴

解得, 所以的取值范围是() ．   …………………12分