Question

（12分） 已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点．

    （1） 求四棱锥的体积；

    （2） 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论；

（3） 若点为的中点，求二面角的大小．

Answer

(1)

（2）不论点在何位置，都有

（3）

【解析】【解析】
（1） 由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，

    ∴，

即四棱锥的体积为；

（2） 不论点在何位置，都有．

证明如下：连结，

∵是正方形，

∴．

∵底面，且平面，

∴．

又∵，

∴平面．

∵不论点在何位置，

都有平面．

∴不论点在何位置，

都有；

（3） 解法1：在平面内过点作于，连结．

∵，，，

∴Rt△≌Rt△，

从而△≌△，∴．∴为二面角的平面角．

在Rt△中，，

又，在△中，由余弦定理得

    ，

    ∴，即二面角的大小为．

解法2：如图，以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系．则，从而，，，．

    设平面和平面的法向量分别为，，

    由，

    取．由，

    取．设二面角的平面角为，则

    ，

    ∴，即二面角的大小为．