Question

（本小题满分12分）

已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面， ，为的中点，为中点．

(Ⅰ) 求证：直线平面；

（Ⅱ）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值．

Answer

法一（Ⅰ）取的中点为，连接，

          则，，且，…………………………3分

          则四边形为平行四边形，

          则，即平面．………………………………6分

        （Ⅱ）延长交延长线于点，连接，

          则即为平面与平面的交线，

          且，

          则为平面和平面所成的锐二面角的平面角．……8分

          在中，．…………………………12分

     法二 取中点为，连接，

以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，

，……………………2分

（Ⅰ）则，，

设平面的法向量为，

则，即………………4分

令，则，即，所以，

故直线平面．………………………………………………6分

（Ⅱ）设平面的法向量，

则．………………………………………………12分

【解析】略