Question

（本小题满分12分）

已知函数（，），．

（Ⅰ）证明：当时，对于任意不相等的两个正实数、，均有

成立；

（Ⅱ）记，

（ⅰ）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（ⅱ）证明：.

Answer

（Ⅰ）证明： ，

，

，则   ①

，则，②

由①②知．………………………………分

（Ⅱ）（ⅰ），

，

令，则在上单调递增．

，则当时，恒成立，

即当时，恒成立． …………………………… 5分

令，则当时，，

故在上单调递减，从而，

故．……………………………………………………７分

（ⅱ）法一：

，

令，

则表示上一点与直线上一点距离的平方．… 8分

令，则，

可得在上单调递减，在上单调递增，

故，则，…………………………………… 10分

直线与的图象相切与点，

点到直线的距离为，

则，

故．……………………………………………………12分

法二：

，

令，则．………………8分

令，则，显然在上单调递减，在上单调递增，………………………………………………………………………………10分

则，则，故．…………………12分

【解析】略