Question

（本小题满分10分）

在正方体中，E,F分别是CD，A1D1中点

（1）求证：AB1⊥BF；

（2）求证：AE⊥BF；

（3）棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP，若存在，

确定点P的位置；若不存在，说明理由

Answer

(1) 略

(2) 略

(3) 存在

【解析】【解析】
（1）证明：连结A1B,CD1  ∵AB1⊥A1B, AB1⊥BC,A1B∩BC=B  ∴AB1⊥平面A1BCD1 , 又BF平面A1BCD1 ,所以AB1⊥BF

     (2) 证明：取AD中点M，连结FM，BM             

∵ABCD为正方形，E,M分别为所在棱的中点，

    ∴AE⊥BM，又∵FM⊥AE，BM∩FM=M,             

∴AE⊥平面BFM， 又BF平面BFM，∴AE⊥BF

(3) 存在，P是CC1的中点，则易证PE∥AB1，故A,B1,E,P四点共面

   证明：由（1）（2）知AB1⊥BF，AE⊥BF，AB1∩AE=A，∴BF⊥平面AEB1，       

即BF⊥平面AEP