Question

（12分）

已知四棱锥中，平面，底面是直角梯形，为的重心，为的中点，在上，且；

（1）求证：；

（2）当二面角的正切值为多少时，

平面；

（3）在（2）的条件下，求直线与平面所成角

的正弦值；

Answer

(1)略

(2) 当二面角P-CD-A的正切值为2时，FG⊥平面AEC

(3)

【解析】（1）连结CG并延长交PA于H，连结BH

∵G是△PAC的重心     ∴CG:GH=2:1  

 ∵CF:FB=2:1    ∴CG:GH=CF:FB    ∴FG∥BH

∵PA⊥平面ABCD    ∴PA⊥AC    ∴AC⊥平面PAB

∴    AC⊥BH   ∵FG∥BH   ∴FG⊥AC ------------4分

（2）如图所示，以A为坐标原点建立空间直角坐标系

∵AB=AC=2且AB⊥AC  ∴∠ACB=45°  在直角梯形ABCD中  

 ∵∠BCD=90°    ∴∠ACD=45°∵AC=2    ∴AD=CD=   

∵PA⊥平面ABCD    ∴PA⊥CD    ∵CD⊥AD    ∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥PD    ∴∠PDA为二面角P-CD-A的平面角

∴A(0,0,0)  C(,,0)  D(0,,0)  B(,,0)

设P(0,0,)  ∴H(0,0,)  E(,,)  

  ∵FG⊥平面AEC    ∴FG⊥AE∵FG∥BH    ∴BH⊥AE

 ∴=(,,)    =(,,)

∴    ∴    ∴PA= 

  ∴∠PDA=2  ∴当二面角P-CD-A的正切值为2时，FG⊥平面AEC   ------8分

（3）∵BH∥FG    ∴FG与平面PBC所成的角等于BH与平面PBC所成的角

∵=（，，）  =（0，，0）  =（，，）

设平面PBC的法向量=(x,y,z)    ∴    ∴  令z=1  ∴=(2,0,1)

∴    设直线FG与平面PBC所成的角为

∴    ∴直线FG与平面PBC所成的角的正弦值为 --12分