Question

（本小题满分14分）

已知椭圆方程为（），抛物线方程为．过抛物线的焦点作轴的垂线，与抛物线在第一象限的交点为，抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点． 

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设为椭圆上的动点，由向轴作垂线，垂足为，且直线上一点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

Answer

略

【解析】【解析】
（1）抛物线的焦点为，过抛物线的焦点垂线于轴的直线为.

由得点的坐标为.                    ………………2分

由得，

∴，故.                             ………………3分

∴抛物线在点的切线方程为，即.   …………4分

又由椭圆方程及知，右焦点的坐标为.      …………5分

∴，解得.                         ………………7分

∴椭圆方程为，抛物线方程为．       ………………8分

（2）设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为,且，.由已知知.                      ………………10分

将其代入椭圆方程得.                       ………………11分

当，即时，点的轨迹方程为，其轨迹是以原点为圆心，半径为的圆；                                ………………12分

当，即时，点的轨迹方程为，其轨迹是焦点在轴上的椭圆；                                      ………………13分

当，即时，点的轨迹方程为，其轨迹是焦点在 轴上的椭圆.                                        ………………14分