Question

（本小题满分14分）

已知函数，（）.

（1）当时，试求函数在上的值域；

（2）若直线交的图象于两点，与平行的另一直线与图象切于点.

求证：三点的横坐标成等差数列；

Answer

（1）

（2）略

(3)

【解析】

（1）【解析】
当时，函数（）.

易知，令，即，解得.………1分

在区间上，，∴函数在上单调递减；

在区间上，，∴函数在上单调递增；……………2分

∴是函数的极小值点，也是最小值点，；                              ……………3分

又，，

而，故；     ……………4分

∴函数的值域为.              ……………5分

（2）证明：设两点的横坐标分别为;直线的方程为.

由得.  ∴……①. ……………7分

又，∴ …………②   ……………8分

将②代入①中得.

∴三点的横坐标成等差数列.                ……………9分

（3）【解析】
依题意，恒成立.

（）

.令，解得.     ……………10分

在区间上，，

∴函数在上单调递减；

在区间上，，

∴函数在上单调递增；                      ……………11分

∴是函数的极小值点，也是最小值点，

.           ……………12分

欲满足题意，只需，即，注意到，

故，解之得.              ……………14分