Question

（本小题满分14分）

已知直角梯形中(如图1），，为的中点，

将沿折起，使面面（如图2），点在线段上，.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在四棱锥的棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由.

Answer

(1) 略

(2)

(3) 存在的中点，使得平面. 

【解析】

【解析】
（1）依题意知：.

又面面，面面，面，

所以面.                                        …………2分

又因为.

以为原点，建立如图所示的坐标系，                          …………3分

则.             …………4分

       由于，

所以,

即.                                              …………5分

所以，.

所以.       …………6分

（2）易知为平面的法向量. …………7分

设平面的法向量为，

则即，…………8分

令 则，即.                     …………9分

二面角的平面角为，则.…………10分

（3）方法一：存在的中点，使得：平面，证明如下：

连接，交于，取中点，连.

在△中，分别为中点，则.         …………11分

在△中，分别为中点，则.        …………12分

所以平面平面.

又平面，

所以平面.                                       …………14分

方法二：假设在四棱锥的棱上存在一点，使得平面，不妨设：，                                       …………11分

由，得.                   …………12分

由（2）知平面的法向量，由得.  ……13分

故存在的中点，使得平面.                   …………14分