Question

．（本小题满分14分）

已知数列的相邻两项是关于的方程 的两实根，且，记数列的前项和为.

（1）求；

（2）求证：数列是等比数列；

   （3）设，问是否存在常数，使得对都成立，若存在，

求出的取值范围，若不存在，请说明理由.

Answer

(1) ，

(2)略

(3)

【解析】

【解析】
（1）证明：因为，是关于的方程的两实根，

        所以.                                          …………1分

又因为，所以，，.                         …………3分（2）    ………… 6分

        故数列是首项为，公比为的等比数列. ………… 7分

（3）由（2）得，

         即,

                                           …………9分

         又，

         要使，对都成立，

         即（*）………10分

        ①当为正奇数时，由（*）式得：

           ,

           即,

           对任意正奇数都成立，

           故为正奇数）的最小值为1.

                                                           …………12分

           ②当为正偶数时，由（*）式得：

           ，

           即，

           对任意正偶数都成立，

           故为正偶数）的最小值为

                                                          …………13分

           综上所述得，存在常数，使得对都成立，

          的取值范围为.                                   …………14分