Question

（14分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上。   （1）求a₁和a₂的值；   （2）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；   （3）设c_n=a_n·b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n。

Answer

（1）a1=2，a2=4（2）an=2n  bn=2n-1（3）Tn=(2n-3)2n+1+6  

【解析】（1）∵an是Sn与2的等差中项∴Sn=2an-2               。。。。1

∴a1=S1=2a1-2，解得a1=2               。。。。2

            a1+a2=S2=2a2-2，解得a2=4      。。。         。3

   （2）∵Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，

    又Sn—Sn-1=an，                 。。。。5

    ∴an=2an-2an-1，     ∵an≠0，∴，。。6

即数列{an}是等比数列∵a1=2，∴an=2n                                  。。。。7

    ∵点P(bn，bn+1)在直线x-y+2=0上，∴bn-bn+1+2=0，   。。  。8

   ∴bn+1-bn=2，即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n-1，     9分                （3）∵cn=(2n-1)2n

    ∴Tn=a1b1+ a2b2+····anbn=1×2+3×22+5×23+····+(2n-1)2n，

    ∴2Tn=1×22+3×23+····+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1

    因此：-Tn=1×2+(2×22+2×23+···+2×2n)-(2n-1)2n+1，

    即：-Tn=1×2+(23+24+····+2n+1)-(2n-1)2n+1，

    ∴Tn=(2n-3)2n+1+6                                       ··14分