Question

（（本小题满分12分）

如图，已知在直四棱柱中，

，，．

   （1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer

解法一：

（1）设是的中点，连结，则四边形为正方形，

．故，，，，即．

又，平面，…………6分

（2）由（I）知平面，

又平面，，

取的中点, 连结，又，则．

取的中点，连结，则,.

为二面角的平面角．

连结，在中，，

，

取的中点，连结，，

在中，，，．

．

二面角的余弦值为．…………………………12分

解法二：

（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，,.

，,

又因为 所以，平面.…6分

（2）设为平面的一个法向量．

由，，

得    取，则．

又，，设为平面的一个法向量，

由，，得取，则，

设与的夹角为，二面角为，显然为锐角，

.…………12分

【解析】略