Question

（本小题满分12分）

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如图）.

（I）当x=2时，求证：BD⊥EG ；

（II）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为，

求的最大值；

（III）当取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值．

Answer

（1）方法一：∵平面平面，

AE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE，

又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E-xyz．

，又为BC的中点，BC=4，

．则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），

（－2，2，2），（2，2，0），

（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴。

方法二：作DH⊥EF于H，连BH，GH，

由平面平面知：DH⊥平面EBCF，

而EG平面EBCF，故EG⊥DH．

为平行四边形，且

，四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，BHDH＝H，

故EG⊥平面DBH，

而BD平面DBH，∴ EG⊥BD．

（或者直接利用三垂线定理得出结果）

（2）∵AD∥面BFC，

所以 =VA-BFC＝

，

即时有最大值为．

（3）设平面DBF的法向量为，∵AE=2， B（2，0，0），D（0，2，2），

F（0，3，0），∴

（－2，2，2），

则 ，

即，

取，∴

，面BCF一个法向量为，

则cos<>=，

由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－．

【解析】略