Question

（本小题满分12分）

如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=．

（Ⅰ）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；

（Ⅱ）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小；

（Ⅲ）求点D到平面SBC的距离．

Answer

证明：（Ⅰ）∵SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，

∴CD⊥平面SAD，AD⊥平面SDC，又在Rt△SDB中，．……1分

以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，

建立空间直角坐标系，则，，，．  …………2分

设平面SBC的法向量为，则，，

∵，，∴，∴可取…4分

∵CD⊥平面SAD，∴平面SAD的法向量．       ……………5分

∴，

∴面ASD与面BSC所成二面角的大小为45°．……6分

（Ⅱ）∵，∴，，

又∵，

∴DM⊥SB，        

∴异面直线DM与SB所成角的大小为90°．     ………9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）平面SBC的法向量为，

∵，

∴在上的射影为，

∴点D到平面SBC的距离为．………12分

（特别说明：用传统解法每问应同步给分）

【解析】略