Question

如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大小；

（Ⅲ）求点C到平面PBD的距离.

Answer

(1)略

(2) q = 450

(3)

【解析】【解析】
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.

设平面PCD的法向量为，则，

即，∴  故平面PCD的法向量可取为                              

∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.             

设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得，∴q = 450 .                                                       

（Ⅲ）由（Ⅰ）得，设平面PBD的法向量为，

则，即，∴x=y=z，

故平面PBD的法向量可取为.                             

∵，∴C到面PBD的距离为