Question

如图，在长方体中，，且.

  （Ⅰ）求证：对任意，总有；

  （Ⅱ）若，求二面角的余弦值；

  （Ⅲ）是否存在，使得在平面上的射影平分？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

Answer

（Ⅰ）证明略

（Ⅱ）

 （Ⅲ）

【解析】【解析】
（Ⅰ）如图，以为坐标原点，分别以

所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

不妨设.

则,,,

,,,

从而,，

所以,即；能                   -----------------4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）及得，，

设平面的法向量为，则

，解方程组得，

从而可取平面的法向量为，

又取平面的法向量为，且设二面角P-AB1-B为，

所以；           --------------------------------------------9分

（Ⅲ）假设存在实数满足条件，由题结合图形，只需满足向量分别与向量的所成角相同，即有，

即，解得，所以存在满足题意的实数，使得在平面上的射影平分.--------14分