Question

已知函数.

(Ⅰ)讨论的单调性；

（Ⅱ）设.当时，若对任意，

存在，使，求实数的最小值

Answer

(Ⅰ) 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间

（Ⅱ）4

【解析】【解析】
(Ⅰ)由题，函数的定义域为

（1）若，则，

从而当时，；当时，，

此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为；------------3分

（2）若，则，

①当时，因为，从而当或时，；当时，，

此时函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

②当时，，

函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间8分

（Ⅱ）由(Ⅰ)可得当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，

所以在区间上，，

由题，对任意，存在，使，

从而存在，使，

即只需函数在区间上的最小值大于，

又当时， 时，，不符

所以在区间上，解得，

所以实数的最小值为4.                    -------------15分