Question

（本小题满分13 分）

    如图（1）是一正方体的表面展开图，MN 和PB 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN 和PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题。

   （1）求证：MN//平面PBD；

   （2）求证：AQ⊥平面PBD；

   （3）求二面角P—DB—M 的大小．

Answer

（1）MN//平面PBD

        (2) AQ⊥平面PBD

        (3)

【解析】

【解析】
M、N、Q、B的位置如右图示。（正确标出给1分）

    （1）∵ND//MB且ND=MB

    ∴四边形NDBM为平行四边形

    ∴MN//DB………………3分

    ∴BD平面PBD，MN

    ∴MN//平面PBD……………………4分

   （2）∵QC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

    ∴BD⊥QC……………………5分

    又∵BD⊥AC，

∴BD⊥平面AQC…………………………6分

    ∵AQ面AQC

    ∴AQ⊥BD，同理可得AQ⊥PB，

    ∵BDPD=B

    ∴AQ⊥面PDB……………………………8分

   （3）解法1：分别取DB、MN中点E、F连结

    PE、EF、PF………………9分

    ∵在正方体中，PB=PB

    ∴PE⊥DB……………………10分

    ∵四边形NDBM为矩形

    ∴EF⊥DB

    ∴∠PEF为二面角P—DB—M为平面角…………11分

    ∵EF⊥平面PMN

    ∴EF⊥PF

    设正方体的棱长为a，则在直角三角形EFP中

    ∵

    ∴

    …………………………13分

    解法2：设正方体的棱长为a，

    以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图：

    则点A（a,0，0），P（a,0,a），Q（0,a,a）…………9分

    ∴………………10分

    ∵PQ⊥面DBM，由（2）知AQ⊥面PDB

    ∴分别为平面PDB、平面DBM的法向量……………………12分

    ∴

    ∴………………13分