Question

已知椭圆，且C₁，C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点。

（1）求椭圆的焦点坐标及m=0，时的焦点坐标；

（2）当AB⊥x轴时，判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；

（3）是否存在m，p的值，使抛物线C₂的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m，p的值；若不存在，请说明理由。

Answer

（1）

（2）存在

（3）

【解析】【解析】
（1）椭圆的焦点坐标（-1，0），（1，0）      …………2分

当m=0、 时，

C2的焦点坐标为，        …………4分

 （2）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0。

      ∵C1的右焦点坐标为（1，0），∴直线AB的方程为x=1。

∴点A的坐标为，

∵点A在抛物线上，

此时，C2的焦点坐标为，该焦点不在直线AB上。…………8分

假设存在m，p使抛物线C1的焦点恰在直线AB上。

（3）由（I）知直线AB的方程为，

由          ①

设A、B的坐标分别为是方程①的两个根，

由               ②

，

将③代入②，得，③

也是方程③的两个根，

④

又直线AB过C1，C2的焦点，

⑤

由④⑤，得

解得

由上可知，满足条件的m，p存在，且…………13分