Question

(本小题12分)

正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B.

（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

（Ⅱ）求直线BC与平面DEF所成角的余弦值；

（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论.

Answer

(1)平行

(2)

(3) 所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE

【解析】如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，

    又AB平面DEF，EF平面DEF.   ∴AB∥平面DEF.   

（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，

平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为

则 即，

（Ⅲ）设

又      

所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE  。