Question

(本小题13分)

已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于A、B两点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点M（m，0）是线段OF上的一个动点，且，求取值范围；

（Ⅲ）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N 三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

(1)

(2)

【解析】（Ⅰ）设椭圆方程为，由题意知=1．

，

故椭圆方程为．  

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以. 设的方程为 ，

代入，得，

设，则，

，，

，

，

，

，

  ，

由，

当时,  有成立． 

（Ⅲ）在轴上存在定点，使得、、三点共线．

依题意知，直线BC的方程为，

令y=0，则，    

∵的方程为，A、B在直线上，

∴

∴

∴在轴上存在定点，使得、、三点共线．  

解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以.

设的方程为 ，

代入，得，

设，则，    

，，

∵，∴，

∴，

∴，

，∴，

∴∵， ∴，

∴．

当时, , 有成立．    

(Ⅲ) 在轴上存在定点，使得、、三点共线．

设存在，使得、、三点共线， 则∥，

，，

，

即．

，．∴，存在，使、、三点共线．