Question

（本小题满分14分）

已知函数是奇函数，且满足

(Ⅰ)求实数、的值；

（Ⅱ）试证明函数在区间单调递减，在区间单调递增；

（Ⅲ）是否存在实数同时满足以下两个条件：①不等式对恒成立；

②方程在上有解．若存在，试求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
(Ⅰ) 由得，解得．  ………………1分

由为奇函数，得对恒成立，

即，所以．  ………………3分

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，．

任取，且，

，  …………………5分

∵，∴，，，

∴，

所以，函数在区间单调递减．  ……………7分

类似地，可证在区间单调递增．  ……………8分

（Ⅲ）对于条件①：由（Ⅱ）可知函数在上有最小值

故若对恒成立，则需，则，

……………10分

对于条件②：由（Ⅱ）可知函数在单调递增，在单调递减，

∴函数在单调递增，在单调递减，又，，，所以函数在上的值域为

若方程在有解，则需．……12分

若同时满足条件①②，则需，所以 

答：当时，条件①②同时满足．……………14分

【解析】略