Question

（本题满分14分）如图，正方形、的边长都是1，平面平面，点在上移动，点在上移动，若（）

（I）求的长；

（II）为何值时，的长最小；

（III）当的长最小时，求面与面所成锐二面角余弦值的大小.

Answer

(1)

(2)

(3)

【解析】【解析】
（Ⅰ）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，

即MNQP是平行四边形，∴  MN=PQ.

由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，

∴  AC=BF=，

即 

                         ………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ），所以，当

即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为 ………………9分

（Ⅲ）取MN的中点G，连结AG、BG，

∵  AM=AN，BM=BN，G为MN的中点

∴  AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角A-MN-B的平面角，

又AG=BG=，所以，由余弦定理有

∴所求余弦值为               …14分