Question

（本小题满分12分）

如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点。

   （1）求证：平面；

   （2）求二面角的大小；

   （3）求直线与平面所成的角的正弦值．

     

Answer

（1）平面

（2）=, 即二面角的大小是

（3）直线与平面D所成的角的正弦值为

【解析】解法一：（1）设与相交于点P，连接PD，则P为中点，

D为AC中点，PD//。

    又PD平面D，

    //平面D   ……………………(４分)

   （2）正三棱住，

     底面ABC。

    又BDAC

    BD

    就是二面角的平面角。

    =，AD=AC=1

    tan =

    =, 即二面角的大小是 …………………(８分)

   （3）由（2）作AM，M为垂足。

    BDAC，平面平面ABC，平面平面ABC=AC

    BD平面，

    AM平面，

    BDAM

    BD = D

    AM平面，连接MP，则就是直线与平面D所成的角。

    =，AD=1，在RtD中，=，

    ，。

    直线与平面D所成的角的正弦值为…………………(1２分)

    解法二：

    （1）同解法一

    （2）如图建立空间直角坐标系，

    则D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）

=（-1，，-），=（-1，0，-）

设平面的法向量为n=（x，y，z）

    则n

    n

    则有，得n=（，0，1）

    由题意，知=（0，0，）是平面

    ABD的一个法向量。

    设n与所成角为，

    则，

    二面角的大小是

   （3）由已知，得=（-1，，），n=（，0，1）

    则

    直线与平面D所成的角的正弦值为