Question

（本小题满分12分）

如图一，平面四边形关于直线对称，．

把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：

（Ⅰ）求两点间的距离；

（Ⅱ）证明：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）平面

（Ⅲ）

【解析】【解析】
（Ⅰ）取的中点，连接，

由，得：                                      

就是二面角的平面角，

在中，

（Ⅱ）由，

，   又平面．

（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面

∴平面平面平面平面，

作交于，则平面，

就是与平面所成的角．

方法二：设点到平面的距离为，

∵              

  于是与平面所成角的正弦为

．

方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，  则．  ………10分

设平面的法向量为n，则

n， n，

取，则n，  于是与平面所成角的正弦即