Question

（本小题满分12分）已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）数列满足：，且,记数列的前n项和为，

且.

（ⅰ）求数列的通项公式；并判断是否仍为数列中的项？若是，请证明；否则，说明理由.

（ⅱ）设为首项是,公差的等差数列，求证：“数列中任意不同两项之和仍为数列中的项”的充要条件是“存在整数，使”

Answer

（Ⅰ）当时，递增区间为；当时, 递增区间为

（Ⅱ）（ⅰ）,不在数列中

（ⅱ）数列中任意不同两项之和仍为数列中的项的充要条件是存在整数，使

【解析】（Ⅰ）因为，所以. 

（i）当时，.

（ii）当时，由，得到，知在上.

（iii）当时，由，得到，知在上.

综上，当时，递增区间为；当时, 递增区间为.  

（Ⅱ）（i）因为，所以，即，

，即.     ……………………………………（6分）

因为，

当时，，当时，，

所以.又因为，

所以令，则

得到与矛盾，所以不在数列中.    ………（9分）

（ii）充分性：若存在整数，使.设为数列中不同的两项，则.

又且,所以.即是数列的第项.

必要性：若数列中任意不同两项之和仍为数列中的项，

则，，（，为互不相同的正整数）

则，令，

得到 ，

所以，令整数，所以. ……（11 分）

下证整数.若设整数则.令，

由题设取使

即，所以

即与相矛盾，所以.

综上, 数列中任意不同两项之和仍为数列中的项的充要条件是存在整数，使