Question

（（本小题满分12分）设函数的图象关于原点对称，且=1时，f(x)取极小值。

(1)求的值；

 (2)若时，求证：。

Answer

解答(1) ∵函数f(x)图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f(-x)=- f(x).

∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.

∴b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx.   ∴f′(x)=3ax2+c.

∵x=1时,f(x)取极小值-.   ∴f′(1)=0且f(1)=- ,

即3a+c=0且a+c=-.  解得a=,c=-1………………………………….6分

 (2)证明：∵f′(x)=x2-1,由f′(x)=0,得x=±1.

当x∈(-∞，-1)或（1，+∞）时，f′(x)＞0; 当 x∈(-1，1)时，f′(x)＜0.

∴f(x)在[-1,1]上是减函数，且fmax(x)=f(-1)= , fmin(x)=f(1)= -.

∴在[-1,1]上，|f(x)|≤.

于是x1,x2∈[-1,1]时，|f(x1)-f(x2)|≤=+=.

故x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤………………………………………….12分

【解析】略