Question

（本题满分14分）

　　如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F。

　　(I)证明 平面；

　　(II)证明平面EFD；

　　(III)求二面角的大小。

Answer

方法一：

(I)证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。

底面ABCD是正方形，点O是AC的中点

在中，EO是中位线，。

而平面EDB且平面EDB，

所以，平面EDB。

(II)证明：底在ABCD且底面ABCD，

① 同样由底面ABCD，得

底面ABCD是正方形，有平面PDC

而平面PDC， ② ………………………………6分

由①和②推得平面PBC 而平面PBC，

又且，所以平面EFD

(III)【解析】
由(II)知，，故是二面角的平面角

由(II)知， 设正方形ABCD的边长为，则

在中，

在中，

所以，二面角的大小为

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设

(I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。 依题意得

底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心， 故点G的坐标为且

。这表明。

而平面EDB且平面EDB，平面EDB。

(II)证明：依题意得。又故

由已知，且所以平面EFD。

(III)【解析】
设点F的坐标为则

从而所以

由条件知，即

解得 。

点F的坐标为且

即，故是二面角的平面角。

且

【解析】略