Question

如图，设抛物线方程为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B。

（1）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

（2）已知当M点的坐标为时，，求此时抛物线的方程；

（3）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）证明：由题意设

                     由得，则

                     所以

                     因此直线MA的方程为直线MB的方程为

                     所以     ①；     ②

由①-②得，而，因此

所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.

（2）【解析】
由（1）知，当x0=2时，

                将其代入①、②并整理得：

所以 x1、x2是方程的两根，

                因此  又  所以

                由弦长公式得：

  又， 所以p=1或p=2，

                因此所求抛物线方程为或

（3）【解析】
设，由题意得

                则CD的中点坐标为

              设直线AB的方程为

              由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，

              代入得

              若在抛物线上，则

              因此 x3=0或x3=2x0.即D(0，0)或

              （1）当x0=0时，则，此时，点M适合题意.

              （2）当，对于D(0，0)，此时

              又AB⊥CD，所以

即矛盾.

对于因为此时直线CD平行于y轴，又

所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，

所以时，不存在符合题意的M点.

综上所述，仅存在一点M适合题意.