Question

（本小题满分14分）对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意∈D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数.

（Ⅰ）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；

（Ⅱ）设是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式 对一切R恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值.

Answer

【解析】

【解】（1）对于函数，当时，.

当或时，恒成立，故是“平底型”函数

……………………………………………………………2分

对于函数，当时，；

当时，.

所以不存在闭区间，使当时，恒成立.

故不是“平底型”函数.                 ……………………………………4分

（Ⅱ）若对一切R恒成立，则.

因为，所以.又，则.  ……6分

因为，则，解得.

故实数的范围是.              …………………………………………………8分

（Ⅲ）因为函数是区间上的“平底型”函数，则

存在区间和常数，使得恒成立.

所以恒成立，即.解得或.  ……10分

当时，.

当时，，当时，恒成立.

此时，是区间上的“平底型”函数.                ………………12分

当时，.

当时，，当时，.

此时，不是区间上的“平底型”函数.                 ………………13分

综上分析，m＝1，n＝1为所求.                 ………………………………………14分