Question

(本小题满分15分)已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|＝8，动点P满足＝，设点P的轨迹为曲线C，定点为M(4,0)，直线PM交曲线C于另外一点Q.(1)求曲线C的方程；(2)求△OPQ面积的最大值．

Answer

(1) ＋＝1.

(2)△OPQ的面积最大值为.

【解析】(1)设A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)，

则＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，

∵＝，∴∴a＝x，b＝y.

又|AB|＝＝8，∴＋＝1.

∴曲线C的方程为＋＝1.

(2)由(1)可知，M(4,0)为椭圆＋＝1的右焦点，

设直线PM方程为x＝my＋4，由消去x得

(9m2＋25)y2＋72my－81＝0，

∴|yP－yQ|＝

＝.   ∴S△OPQ＝|OM||yP－yQ|＝2×

＝＝＝≤＝，

当＝，

即m＝±时，△OPQ的面积取得最大值为，此时直线方程为3x±y－12＝0.