Question

（本小题满分15分）已知函数．

（I）  若，求曲线在点处的切线方程；

 若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（III）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

Answer

（I）

（II）

（III）

【解析】⑴当时，函数，．，（1分）曲线在点处的切线的斜率为． 

从而曲线在点处的切线方程为，即． 

⑵．  令，

要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立．

由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，只需，即时， 

∴在内为增函数，正实数的取值范围是． 

⑶∵在上是减函数，∴时,;时，，即，

①  当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数．

当时，，因为，所以，，此时，在内是减函数．故∴当时，在上单调递减，不合题意；  

②  当时，由，所以．

又由⑵知当时，在上是增函数，

∴，不合题意；  

③  当时，由⑵知在上是增函数，，又在上是减函数，

故只需，，而，，即，解得  

综上所述,实数的取值范围是．