Question

（本小题满分13分）

       已知是二次函数，不等式的解集是（0，5），且在区间[-1，4]上的最大值是12。

   （1）求的解析式；

   （2）是否存在自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

Answer

【解析】【解析】
（1）是二次函数，且的解集是（0，5）

       可设

       在区间[-1，4]上的最大值是                    …………3分

       由已知，得……6分

   （2）方程等价于方程

       设，则…………8分

       当是减函数；

       当时，是增函数。                      …………10分

       方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间（0，3），

（4，+∞）内没有实数根，所以存在惟一的自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根。…………13分