Question

设直线. 若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有. 则称直线l为曲线S的“上夹线”．

⑴已知函数．求证：为曲线的“上夹线”．

⑵观察下图：

           

    根据上图，试推测曲线的“上夹线”的方程，并给出证明．

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】⑴由得，当时，，

此时，， 

，所以是直线与曲线的一个切点；    

当时，，此时，，           

，所以是直线与曲线的一个切点；      

所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点；

对任意x∈R，，所以       

因此直线是曲线的“上夹线”．（6分）

⑵推测：的“上夹线”的方程为      

①先检验直线与曲线相切，且至少有两个切点：设：

 ，令，得：（kZ） 

当时,

故：过曲线上的点(，)的切线方程为：

y－[]= [－()]，化简得：．

即直线与曲线相切且有无数个切点．不妨设

②下面检验g(x)F(x)     g(x)－F(x)=

直线是曲线的“上夹线”．          （13分）