Question

已知曲线为参数），曲线为参数）。

（1）指出和各是什么曲线，并说明和公共点的个数；

（2）若把，上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线、，写出，的参数方程。与的公共点的个数和与公共点的个数是否相同？说明你的理由。

Answer

【解析】【解析】
（1）因为的普通方程分别是，所以曲线是以原点为圆心，以1为半径的圆，是过定点，倾斜角为的直线。

                                                        ……    4分

因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，所以与有且只有一个公共点。                                …… 6分

（2）压缩后的参数方程分别为为参数），（为参数），   ①                                            ……    8分  

的普通方程为    ②       将①式代入②式得，方程只有一解，                         ……  10分

与有且只有一个公共点，与的公共点个数和与的公共点个数相同。