Question

（本小题满分14分）已知函数，，

，其中且.

（I）求函数的导函数的最小值；

（II）当时，求函数的单调区间及极值；

（III）若对任意的，函数满足，求实数

的取值范围.

Answer

【解析】
（I），其中.

因为，所以，又，所以，

当且仅当时取等号，其最小值为. ……………………………4分

（II）当时，，.

                          ………………………………………………………..6分

的变化如下表：

所以，函数的单调增区间是，；单调减区间是.

                  ……………………………………………………………….8分

函数在处取得极大值，在处取得极小值.

                  ……………………………………………………………….10分

（III）由题意，.

不妨设，则由得.  ……………12分

令，则函数在单调递增.

在恒成立.

即在恒成立.

因为，因此，只需.

解得. 

故所求实数的取值范围为.   …………………………………….14分

【解析】略