Question

已知函数f(x)＝为奇函数，f(1)＜f(3)，

且不等式0≤f(x)≤的解集是{x|－2≤x≤－1或2≤x≤4}．

(1)求a，b，c的值；

(2)是否存在实数m使不等式f(－2＋sinθ)＜－m²＋对一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对定义域内的一切x都成立，

即b＝0.

从而f(x)＝(x＋)．

又∵

即

∴f(2)＝0，解之，得c＝－4.

再由f(1)＜f(3)，得或从而a＞0.

此时f(x)＝(x－)

在[2,4]上是增函数．

注意到f(2)＝0，则必有f(4)＝，∴(4－)＝，

即a＝2.

综上可知，a＝2，b＝0，c＝－4.

(2)由(1)，得f(x)＝(x－)，该函数在(－∞，0)以及(0，＋∞)上均为增函数．

又∵－3≤－2＋sinθ≤－1，

∴f(－2＋sin θ)的值域为

[－，]．

符合题设的实数m应满足－m2＞，即m2＜0，故符合题设的实数m不存在．

【解析】略