Question

若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则称函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．

(1)已知函数f(x)＝的图象关于点(0,1)对称，求实数m的值；

(2)已知函数g(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的图象关于点(0,1)对称，且当x∈(0，＋∞)时，g(x)＝x²＋ax＋1，求函数g(x)在(－∞，0)上的解析式；

(3)在(1)(2)的条件下，当t＞0时，若对任意实数x∈(－∞，0)，恒有g(x)＜f(t)成立，求实数a的取值范围．

Answer

(1)由题设可得f(x)＋f(－x)＝2，

即＋＝2，解得m＝1.

(2)当x＜0时，－x＞0且g(x)＋g(－x)＝2，

∴g(x)＝2－g(－x)＝－x2＋ax＋1.

(3)由(1)得f(t)＝t＋＋1(t＞0)，

其最小值为f(1)＝3.

g(x)＝－x2＋ax＋1＝－2＋1＋，

①当＜0，即a＜0时，g(x)max＝1＋＜3，

得a∈(－2，0)

②当≥0，即a≥0时，g(x)max＜1＜3，

得a∈[0，＋∞)；由①②得a∈(－2，＋∞) 

【解析】略