Question

设a为实常数，函数f(x)＝－x³＋ax²－4.

(1)若函数y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线的倾斜角为，求函数f(x)的单调区间；

(2)若存在x₀∈(0，＋∞)，使f(x₀)＞0，求a的取值范围．

Answer

(1)f′(x)＝－3x2＋2ax.根据题意f′(1)＝tan＝1，

∴－3＋2a＝1，

即a＝2.∴f′(x)＝－3x2＋4x＝－3x.

故f′(x)＞0，得x＜0，即0＜x＜；故f′(x)＜0，得x＞0，即x＜0或x＞.

∴f′(x)的单调递增区间是，单调递减区间是(－∞，0)，.

(2)f′(x)＝－3x.①若a≤0，当x＞0时，f′(x)＜0，

从而f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又f(0)＝－4，则当x＞0时，f(x)＜－4.∴当a≤0时，不存在x0＞0，使f(x0)＞0.

②当a＞0，则当0＜x＜时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＜0.

从而f(x)在上单调递增，在上单调递减．∴当x∈(0，＋∞)时，

f(x)max＝f＝－＋－4＝－4.据题意，－4＞0，即a3＞27，∴a＞3.故a的取值范围是(3，＋∞)．

【解析】略