Question

已知函数f(x)＝－x³－ax²＋b²x＋1(a、b∈R)．

(1)若a＝1，b＝1，求f(x)的极值和单调区间；

(2)已知x₁，x₂为f(x)的极值点，且|f(x₁)－f(x₂)|＝|x₁－x₂|，若当x∈[－1,1]时，函数y＝f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒小于m，求m的取值范围

Answer

(1)f(x)＝－x3－x2＋x＋1，f′(x)＝－3x2－2x＋1

＝－(3x－1)(x＋1).

x

(－∞，－1)

－1

(－1，)

(，＋∞)

f′(x)

－

0

＋

0

－

f(x)

减

极小

值0

增

极大

值

减

f(x)的极大值为，极小值为0.

f(x)的单调增区间为，单调减区间为(－∞，－1)，.

(2)∵f(x)＝－x3－ax2＋b2x＋1，

∴f′(x)＝－3x2－2ax＋b2，又x1，x2为f(x)的极值点，

∴x1，x2为方程－3x2－2ax＋b2＝0的两根，

x1＋x2＝－，x1x2＝－，

∵|f(x1)－f(x2)|＝|x1－x2|，

∴|－x－ax＋b2x1＋1＋x＋ax－b2x2－1|＝|x1－x2|，

整理得|x＋x1x2＋x＋a(x1＋x2)－b2|＝，

即＝，

∴a2＋3b2＝1，∴a2≤1.

∵k＝f′(x)＝－3x2－2ax＋b2＝－3x2－2ax＋，

f′(x)max＝f′＝，

∴m＞.

【解析】略