Question

如图所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.

(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；

(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值；

(3)若PB的中点为M，求证：平面AMC⊥平面PBC.

Answer

(1)如图所示，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D－xyz.

∵∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，

∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)，

由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，

∴∠PAD＝60°.

在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2，

∴P(0,0,2)．

(2)∵＝(2,0，－2)，

＝(－2，－3,0)，

∴cos<，>＝

＝－，

所以PA与BC所成角的余弦值为

(3)证明：∵M为PB的中点，

∴点M的坐标为(1,2，)，

∴＝(－1,2，)，＝(1,1，)，

＝(2,4，－2)，

∵·＝(－1)×2＋2×4＋×(－2)＝0，

·＝1×2＋1×4＋×(－2)＝0，

∴⊥，⊥，∴PB⊥平面AMC

∵PB⊂平面PBC

∴平面AMC⊥平面PBC .   

【解析】略