Question

如图，M、N、P分别是正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、DD₁上的点．

(1)若＝，求证：无论点P在D₁D上如何移动，总有BP⊥MN；

(2)若D₁P：PD＝1∶2，且PB⊥平面B₁MN，求二面角M－B₁N－B的余弦值；

(3)棱DD₁上是否总存在这样的点P，使得平面APC₁⊥平面ACC₁？证明你的结论．

Answer

(1)证明：连结AC、BD，则BD⊥AC，

∵＝，

∴MN∥AC，∴BD⊥MN.

又∵DD1⊥平面ABCD，

∴DD1⊥MN，

∵BD∩DD1＝D，∴MN⊥平面BDD1.

又P无论在DD1上如何移动，总有BP⊂平面BDD1，

∴无论点P在D1D上如何移动，总有BP⊥MN.

(2)以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的坐标系．设正方体的棱长为1，AM＝NC＝t，

则M(1，t,0)，N(t,1,0)，B1(1,1,1)，

P(0,0，)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，

∵＝(0,1－t,1)，

B＝

又∵BP⊥平面MNB1，

∴·B＝0，

即t－1＋＝0，∴t＝，

∴＝(0，，1)，

M＝(－，，0)．

设平面MNB1的法向量n＝(x，y，z)，

由，

得x＝y，z＝－y.

令y＝3，则n＝(3,3，－2)．

∵AB⊥平面BB1N，

∴A是平面BB1N的一个法向量，A＝(0,1,0)．

设二面角M－B1N－B的大小为θ，

∴cos〈n，A〉

＝

＝.

则二面角M－B1N－B的余弦值为.

(3)存在点P，且P为DD1的中点，

使得平面APC1⊥平面ACC1.

证明：∵BD⊥AC，BD⊥CC1，

∴BD⊥平面ACC1.

取BD1的中点E，连PE，

则PE∥BD，

∴PE⊥平面ACC1.

∵PE⊂平面APC1，

∴平面APC1⊥平面ACC1.

【解析】略