Question

已知圆x²＋y²－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.

(1)求证对任意实数a，该圆恒过一定点；

(2)若该圆与圆x²＋y²＝4相切，求a的值

Answer

(1)将圆的方程整理为(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，令可得所以该圆恒过定点(4，－2)．

(2)圆的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝5a2－20a＋20

＝5(a－2)2，所以圆心为(2a，a)，半径为|a－2|.

若两圆外切，则＝2＋|a－2|，

即|a|＝2＋|a－2|，由此解得a＝1＋.

若两圆内切，则＝|2－|a－2||，即|a|＝|2－|a－2||，由此解得a＝1－或a＝1＋(舍去)．

综上所述，两圆相切时，a＝1－或a＝1＋

【解析】略