Question

如右图所示，一张平行四边形的硬纸片ABC₀D中，AD＝BD＝1，AB＝.沿它的对角线BD把△BDC₀折起，使点C₀到达平面ABC₀D外点C的位置．

(1)证明：平面ABC₀D⊥平面CBC₀；

(2)如果△ABC为等腰三角形，求二面角A－BD－C的大小

Answer

(1)证明：因为AD＝BC0＝BD＝1，

AB＝C0D＝，

所以∠DBC0＝90°，∠ADB＝90°.

因为折叠过程中，∠DBC＝∠DBC0＝90°，

所以DB⊥BC，又DB⊥BC0，故DB⊥平面CBC0.

又DB⊂平面ABC0D，所以平面ABC0D⊥平面CBC0.

(2)法一：如右图，延长C0B到E，使BE＝C0B，连结AE，CE.

因为AD綊BE，BE＝1，DB＝1，∠DBE＝90°，所以AEBD为正方形，AE＝1.

由于AE，DB都与平面CBC0垂直，所以AE⊥CE，可知

AC＞1.

因此只有AC＝AB＝时，△ABC为等腰三角形．

在Rt△AEC中，CE＝＝1，又BC＝1，

所以△CEB为等边三角形，∠CBE＝60°.

由(1)可知，BD⊥BC，BD⊥BE，所以∠CBE为二面角A－BD－C的平面角，即二面角A－BD－C的大小为60°.

法二：以D为坐标原点，射线DA，DB分别为x轴正半轴和y轴正

半轴，建立如右图的空间直角坐标系D－xyz，则

A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(0,0,0)．

由(1)可设点C的坐标为(x,1，z)，其中z＞0，则有

x2＋z2＝1.①

因为△ABC为等腰三角形，所以AC＝1或AC＝.

若AC＝1，则有(x－1)2＋1＋z2＝1.

由此得x＝1，z＝0，不合题意．

若AC＝，则有(x－1)2＋1＋z2＝2.②

联立①和②得x＝，z＝.

故点C的坐标为.

由于DA⊥BD，BC⊥BD，所以与夹角的大小等于二面角A－BD－C的大小．

又＝(1,0,0)，＝，

cos〈，〉＝＝.

所以〈，〉＝60°，即二面角A－BD－C的大小为60°   

【解析】略