Question

如右图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

(1)求三棱锥E—PAD的体积；

(2)当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；

(3)证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF.

Answer

(1)三棱锥E—PAD的体积

V＝PA·S△ADE＝PA·＝.

(2)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．

∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，

∴EF∥PC，又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，

∴EF∥平面PAC.

(3)证明：∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，

∴EB⊥PA，

又EB⊥AB，AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面PAB，

∴EB⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，∴AF⊥EB，

又PA＝AB＝1，点F是PB中点，

∴AF⊥PB又∵PB∩BE＝B，

PB，BE⊂面PBE，

∴AF⊥面PBE，

∵PE⊂面PBE，∴PE⊥AF.

【解析】略