Question

20.（本小题满分8分）如图，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，∠ABC = 30°，PA = AB.       

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；

(2)求直线PC与平面ABC所成角的正切值；

(3)求二面角A—PB—C的正弦值.

Answer

【解析】
(1)证明：∵AB是直径  ∴∠ACB = 90°，即BC⊥AC

∴PA⊥BC

∴BC⊥平面PAC  又BC平面PBC

∴平面PBC⊥平面PAC

   （2）∵PA⊥平面ABC

        ∴直线PC与平面ABC所成角即∠PCA

        设AC = 1，∵∠ABC = 30°∴PA = AB = 2

        ∴tan∠PCA = = 2

(3) 在平面PAC中作AD⊥PC于D，在平面PAB中作AE⊥PB于连结DE

   ∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC = PC，AD⊥PC

   ∴AD⊥平面PBC

   ∴AD⊥PB

   又∵PB⊥AE  ∴PB⊥面AED

   ∴PB⊥ED

   ∴∠DEA即为二面角A—PB—C的平面角

   在直角三角形PAC中和直角三角形PAB中，

分别由等面积方法求得

   AD =   AE =

   ∴在直角三角形ADE中可求得：sin∠DEA =

   即二面角A—PB—C的正弦值为.

【解析】略